Неравенства представляют собой два числа или математических выражения, которые соединены одним из следующих знаков: больше, меньше, больше или равно, меньше или равно. Неравенства широко применяются в прикладной математике, а некоторые из них считаются классическими и используются для решения задач определенного спектра.
Классические неравенства
С точки зрения математической логики каждое неравенство считается высказыванием, которое требуется доказать или опровергнуть. Среди множества неравенств выделяют ряд особенных выражений, которые были сформулированы и доказаны выдающимися математиками. Первым классическим неравенством было безымянное выражение вида:
(1 + x)α ≥ 1 + αx.
Это своего рода фундаментальное математическое выражение, которое положило начало ряду классических неравенств. Доказательством этого высказывания занимались многие ученые, но лучше всех с задачей справился Якоб Бернулли. Он доказал данное неравенство для случая, когда α принадлежит натуральному множеству.
Работа великих математиков кажется нам чем-то магическим и непостижим, а их результаты всегда поражают. Однако главное очарование математики состоит в том, что простые методы и идеи, примененные в определенном порядке, зачастую приводят к неожиданным результатам. Так работал и Бернулли. Неравенство его имени легко в основу других классических неравенств, таких как неравенства Коши, Гельдера, Юнга и Минковского.
Доказательство неравенств
Фундаментальное неравенство (1 + x)α ≥ 1 + αx легко доказать при помощи производных. Дифференцируя обе части уравнения можно показать, что при значениях аргумента x в диапазоне от 0 до 1 функция убывает, а для всех других значений — возрастает. Бернулли отсек отрицательные значения аргумента и принял, что α – любое натуральное число n. В итоге он получил знаменитое математическое высказывание:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
Как же доказать это выражение? Для неравенств с натуральным аргументом математики используют метод математической индукции. Рассмотрим подробнее.
Метод математической индукции
Математическая индукция — это метод доказательства высказываний с натуральным аргументом. Его суть состоит в доказательстве неравенства для значений аргумента, равных 1, n и n + 1. Если выражение тождественно для этих трех случаев, то оно тождественно для любого натурального числа n. Давайте попробуем доказать неравенство Бернулли (1 + x)n ≤ 1 + nx методом математической индукции.
Итак, примем n = 1. В этом случае выражение принимает вид:
- (1 + x)1 ≥ 1 + 1x;
- (1 + x) ≥ 1 + x.
Очевидно, что это тождественное неравенство, так как справа и слева стоят одинаковые выражения, следовательно, они равны. Теперь посмотрим, как ведет себя высказывание при аргументах, которые равны n и n + 1.
Если справедливо высказывание:
(1 + x)n ≥ 1 + nx,
то справедливо и
(1 + x)(n + 1) ≥ 1 + (n+1)x
Мы помним, что Якоб Бернулли рассматривал неравенство при значениях x > -1, следовательно, выражение 1 + x > 0. Используя правила тождественного преобразования неравенств, умножим обе части исходного неравенства на 1 + x. Получим:
(1 + x) × (1 + x)n ≥ (1 + nx) × (1 + x).
Очевидно, что если умножить (1 + x)n на (1 + x), то мы получим (1 + x) в степени (n + 1), так как возведение в степень — это повторяющееся умножение, а мы умножили выражение вn-ной степени еще один раз на себя же. Правило сложения степеней гласит, что в этом случае счетчик степени просто увеличится на единицу. Итак, мы получили, что в левой части неравенства у нас стоит (1 + x)(n + 1), то есть значение выражения для аргумента n + 1. Раскроем скобки в правой части и увидим:
(1 + x)(n + 1) ≥ 1 + (n + 1)x + nx2.
Мы знаем, что nx2 больше нуля, поэтому 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x. Получаем переходное неравенство, что:
(1 + x)(n + 1) ≥ 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n+1)x,
следовательно,
(1 + x)(n + 1) ≥ 1 + (n+1)x
Мы показали, что неравенства для значений 1, n и n + 1 тождественны, а это значит, что неравенство Бернулли истинно для любых натуральных чисел. На первый взгляд это чистая, высокая математика, которая не выходит за пределы теории, но классические неравенства широко применяются на практике.
Использование неравенства Бернулли
Данное математическое высказывание находит применение при сравнении иррациональных чисел. Допустим, у нас есть иррациональное число в виде корня 200-ой степени из 2. Также у нас есть рациональное число 1,005. Давайте подумаем, какое из двух чисел больше? Вручную подсчитать такой корень невозможно, но на помощь приходит классическое неравенство Бернулли.
Воспользуемся первым тождественным преобразованием: возведем оба числа в 200 степень и получим 2 и 1,005200. Выражение вида 1,005200 мы можем подсчитать вручную как раз при помощи классического неравенства. Выразим, что 1,005 — это 1 + 0,005. Тогда согласно неравенству:
(1 + 0,005)200 ≥ 1 + 200 × 0,005
Легко подсчитать, что 200 × 0,005 = 1. Следовательно, выражение приобретает вид:
(1 + 0,005)200 ≥ 2 или 1,005200 ≥ 2.
Таким образом, 1,005 больше, чем корень 200-ой степени из 2.
Наш калькулятор представляет собой программу, которая реализует выражение Бернулли и представляет его в замкнутом виде. Для использования калькулятора требуется ввести значения x и n, после чего нажать кнопку «Рассчитать». Программа вычислит значения выражений (1 + x)n и 1 + nx, после чего вы наглядно убедитесь, что полученные числа полностью удовлетворяют неравенству Бернулли. Например, используем x = 4 и n = 3. Получим, что:
- (1 + x)n = (1 + 4)3 = 125;
- 1 + nx = 1 + 3 × 4 = 13.
Очевидно, что 125 больше 13.
Заключение
Математическое выражение Бернулли — это классическое неравенство, которое широко используется специалистами, работающими с неравными объектами. Наш каталог калькуляторов пригодится как профессионалам, так и студентам, которые только открывают для себя увлекательный мир математики.